x
2.5.5 Probability of Statistically Independent Events . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.6 Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.7 Total Probability eorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.8 Bayes’ Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Mean, Standard Deviation, and Coefficient of Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.1 Definition of a Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.2 Histogram by Excel and MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9 Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9.1 Probability Functions of a Continuous Random Variable . . . . . . . . . . 51
2.9.2 Probability Functions of a Discrete Random Variable . . . . . . . . . . . . . 55
2.10 Mean of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.11 Standard Deviation and Coefficient of Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.12 Some Typical Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.12.1 Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.12.2 Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.12.3 Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.12.4 Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.12.5 Log-Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.12.6 Weibull Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.12.7 Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.13 Goodness-of-Fit Test:
2
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.13.2 e Chi-Square Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.13.3 e Chi-Square (
2
) Goodness-of-Fit Test by the Matlab Program . 94
2.14 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3
Computational Methods for the Reliability of a Component . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2 Limit State Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3 Reliability of a Component with Two Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.1 Interference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.2 Computation of Reliability When Both are Normal Distributions . 118
3.3.3 Computation of Reliability When Both are Log-normal
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120