ix
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
1
Introduction to Reliability in Mechanical Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Engineering Design Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Phase One: Needs Assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Phase Two: Design Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Phase ree: Conceptual Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Phase Four: Detailed Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Phase Five: Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Failures in Engineering Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Uncertainty in Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Definition of Reliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Importance of Reliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Reliability History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Reliability vs. Factor of Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
Fundamental Reliability Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Experiment, Outcome, Sample Space, and Event . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Set eory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Definition of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Relative Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Axiomatic Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Some Basic Operations of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Probability of Mutually Exclusive Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Probability of an Event in a Finite Sample Space . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.3 Probability of Union and Intersection of Two Events . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.4 Probability of a Complementary Event . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
x
2.5.5 Probability of Statistically Independent Events . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.6 Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.7 Total Probability eorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.8 Bayes’ Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Mean, Standard Deviation, and Coefficient of Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.1 Definition of a Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.2 Histogram by Excel and MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9 Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9.1 Probability Functions of a Continuous Random Variable . . . . . . . . . . 51
2.9.2 Probability Functions of a Discrete Random Variable . . . . . . . . . . . . . 55
2.10 Mean of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.11 Standard Deviation and Coefficient of Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.12 Some Typical Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.12.1 Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.12.2 Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.12.3 Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.12.4 Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.12.5 Log-Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.12.6 Weibull Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.12.7 Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.13 Goodness-of-Fit Test:
2
Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.13.2 e Chi-Square Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.13.3 e Chi-Square (
2
) Goodness-of-Fit Test by the Matlab Program . 94
2.14 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3
Computational Methods for the Reliability of a Component . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2 Limit State Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3 Reliability of a Component with Two Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.1 Interference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.2 Computation of Reliability When Both are Normal Distributions . 118
3.3.3 Computation of Reliability When Both are Log-normal
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
xi
3.3.4 Computation of Reliability When Both are Exponential
Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Reliability Index ˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 e First-Order Second-Moment (FOSM) Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.5.1 e FOSM Method for a Linear Limit State Function . . . . . . . . . . 127
3.5.2 e FOSM Method for a Nonlinear State Function . . . . . . . . . . . . . 128
3.6 e Hasofer–Lind (H-L) Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.7 e Rackwitz and Fiessler (R-F) method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.8 e Monte Carlo Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4
Reliability of a Component under Static Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2 Geometric Dimension as a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3 Static Loading as a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.4 Mechanical Properties of Materials as Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5 Estimation of Some Design Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.6 Reliability of a Rod under Axial Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.6.1 Reliability of a Rod under Axial Loading for a Strength Issue . . . . . 178
4.6.2 Reliability of a Rod under Axial Loading for a Deformation Issue . 186
4.7 Reliability of a Component under Direct Shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.8 Reliability of a Shaft under Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.8.1 Reliability of a Shaft under Torsion for a Strength Issue . . . . . . . . . 198
4.8.2 Reliability of a Shaft under Torsion for a Deformation Issue . . . . . . 203
4.9 Reliability of a Beam under Bending Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.9.1 Reliability of a Beam under Bending for a Strength Issue . . . . . . . . . 205
4.9.2 Reliability of a Beam under Bending for a Deflection Issue . . . . . . . 212
4.10 Reliability of a Component under Combined Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.10.1 Reliability of a Component of Ductile Material under Combined
Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.10.2 Reliability of a Component of Brittle Material under Combined
Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.12 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
xii
A
Samples of MATLAB
®
Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A.1 e H-L Method for Example 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A.2 e R-F Method for Example 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
A.3 e Monte Carlo Method for Example 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Author’s Biography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
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